How do you say “I listened to Sung Si Kyung. I really like his music.” in Korean?

= (저는) 성시경 노래 들었어요. (저는) 성시경 노래 정말 좋아해요.

How do you say “I am so nervous.” in Korean?

= 너무 긴장돼요. / 너무 떨려요.

How do you say “15 February 2013” in Korean?

= 이천십삼년 이월 십오일 

How do you say “Thank you for teaching us.” in Korean?

= 가르쳐 주셔서 감사합니다.

How do you say “What are you doing?” in Korean?

= 뭐 하고 있어(요)? / 뭐 해?